【数学】笔记:华罗庚对Witt定理的证明

由 联环己烷 发布

归结的思路相当精彩。

Witt定理

定理:设$A_1,B_1 \in M_m(F),A_2,B_2 \in M_n(F)$都是实对称矩阵,$\begin{pmatrix}A_1 & \\ & A_2 \end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix}B_1 & \\ & B_2 \end{pmatrix}$合同,$A_2$与$B_2$合同,则$A_1$与$B_1$合同。

证明的大致思路:分两步,先证若$A_1,B_1$都可逆则成立,再证删去可逆条件也成立。

第一步

考虑到:

$\begin{pmatrix}A_1 & 0 \\ 0 & A_2\end{pmatrix}$合同于$\begin{pmatrix}A_1\\&c_1 & & \\ && \ddots \\ && & c_{r_2} \\ & & & & 0_{m-r_2}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}B_1 & 0 \\ 0 & B_2\end{pmatrix}$合同于$\begin{pmatrix}B_1\\&c_1 & & \\ && \ddots \\ && & c_{r_2} \\ & & & & 0_{m-r_2}\end{pmatrix}$

故考虑先证明如下引理1:

引理1

$c \not=0,A,B$为可逆对称矩阵,若$\begin{pmatrix} c & \\ & A\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} c & \\ & B\end{pmatrix}$合同,则$A$与$B$合同。

首先由于$\begin{pmatrix} c & \\ & A\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} c & \\ & B\end{pmatrix}$合同,故存在存在$P=\begin{pmatrix} p_1 & \alpha^t \\ \beta & P_2 \end{pmatrix}$使得$P^t\begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}$

即$\begin{pmatrix} p_1^2c+\beta^tA\beta & p_1c\alpha^t+\beta^tAP_2 \\ p_1c\alpha+P_2^tA\beta & c\alpha\alpha^t+P_2^tAP_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$

设待定元$u$,考虑$(u\beta\alpha^t+P_2)^tA(u\beta\alpha^t+P_2)=B$

即$B=u^2\alpha(\beta^tA\beta)\alpha^t+u(\alpha\beta^tAP_2+P_2^tA\beta\alpha^t)+P_2^tAP_2$

利用我们之前算出来的关系替换一些元:

$u^2(c-p_1^2c)\alpha\alpha^t+u(-p_1c)\alpha\alpha^t+u(-p_1c)\alpha\alpha^t-c\alpha\alpha^t=0$

由$c \not=0$得:

$(u^2(1-p_1^2)-2up_1-1)\alpha\alpha^t=0$

若$\alpha=0$,则$P_2^tAP_2=B$,由$A,B$可逆,算行列式知$P_2$可逆,$A,B$合同。

若$\alpha \not=0$,则可以计算得$\Delta=4$,也就是可以找出$u$。同理算行列式知这俩矩阵可逆,$A,B$合同,证毕。

引理2

若$A,B$可逆对称,$\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} B & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$合同,则$A$与$B$合同。

证明:有$\begin{pmatrix} P_{11}^t & P_{21}^t \\ P_{21}^t & P_{22}^t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} \\P_{21} & P_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $,则$P_{11}^tAP_{11}=B$。

又$r(P_{11}^tP_{11})=r(B)=m \leq r(P_{11}) \leq m$,故$P_{11}$可逆,$A$与$B$合同。

总结

重新考虑:

$\begin{pmatrix}A_1 & 0 \\ 0 & A_2\end{pmatrix}$合同于$\begin{pmatrix}A_1\\&c_1 & & \\ && \ddots \\ && & c_{r_2} \\ & & & & 0_{m-r_2}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}B_1 & 0 \\ 0 & B_2\end{pmatrix}$合同于$\begin{pmatrix}B_1\\&c_1 & & \\ && \ddots \\ && & c_{r_2} \\ & & & & 0_{m-r_2}\end{pmatrix}$

只需要一些初等变换+上面两条引理即可证明,若$A_1$和$B_1$可逆,Witt定理成立。

第二步

引理3

尝试删除“可逆”条件,证明:

若$A,B$对称,$\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} B & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$合同,则$A$与$B$合同。

$r(A)=r\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=r(B)=r$

所以存在非零的$a_1,\cdots,a_r,b_1,\cdots,b_r$,使得$A$合同于$\begin{pmatrix}a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_r \\ & & & 0_{m-r} \end{pmatrix}$,$B$合同于$\begin{pmatrix}b_1 & & \\ & \ddots & \\ & & b_r \\ & & & 0_{m-r} \end{pmatrix}$

故由引理2知$diag \{a_1 \cdots a_r\}$与$diag\{b_1 \cdots b_r\}$合同,故$A$与$B$合同。

引理4

尝试将引理3归结进引理1,即:

$c \not=0,A,B$为对称矩阵,若$\begin{pmatrix} c & \\ & A\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} c & \\ & B\end{pmatrix}$合同,则$A$与$B$合同。

只需将$A$和$B$化成对角形式:

$\begin{pmatrix} c & \\ & a_1 \\ & & \ddots \\ & & & a_r \\ & & & & 0\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} c & \\ & b_1 \\ & & \ddots \\ & & & b_r \\ & & & & 0\end{pmatrix}$

由引理3知$\begin{pmatrix} c & \\ & a_1 \\ & & \ddots \\ & & & a_r \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} c & \\ & b_1 \\ & & \ddots \\ & & & b_r \end{pmatrix}$合同。

再由引理1知$\begin{pmatrix} a_1 \\ & \ddots \\ & & a_r \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} b_1 \\ & \ddots \\ & & b_r \end{pmatrix}$合同。

故$A$和$B$合同。

于是发现也可以去掉引理1中$A,B$可逆的条件。

故可以在$A_2$,$B_2$不可逆的条件下证明Witt定理。

应用

证明对称矩阵的惯性系数由合同类唯一决定。

若不然,则存在$p_1,q_1,p_2,q_2$,使得$A$同时合同于$\begin{pmatrix}I_{p_1} \\ & -I_{q_1} \\ & & 0_{n-p_1-q_1} \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}I_{p_2} \\ & -I_{q_2} \\ & & 0_{n-p_2-q_2} \end{pmatrix}$

不妨设$p_1>p_2$由Witt定理,则$I_{p_1-p_2}$合同于$-I_{q_2-q_1}$

易证这不可能成立。


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